Комплексная функция — основной объект изучения теории функций комплексной переменной, комплекснозначная функция комплексного аргумента: ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$.

Как и комплекснозначная функция вещественной переменной может быть представлена в виде:

${\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}$,

где ${\displaystyle u(z)}$ и ${\displaystyle v(z)}$ — вещественнозначные функции комплексного аргумента, называемые соответственно вещественной и мнимой частью функции ${\displaystyle f(z)}$. В отличие от вещественных функций, между компонентами разложения имеется более глубокая связь, например, для того, чтобы функция ${\displaystyle f(z)}$ была дифференцируема в смысле функции комплексной переменной, должны выполняться условия Коши — Римана:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$;

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$.

Примерами аналитических функций комплексной переменной являются: степенная функция, экспонента, гамма-функция, дзета-функция Римана, хребтовая функция и многие другие, а также обратные им функции и любые их комбинации. Однако действительная часть комплексного числа ${\displaystyle \mathrm {Re} \,z}$, мнимая часть ${\displaystyle \mathrm {Im} \,z}$, комплексное сопряжение ${\displaystyle {\bar {z}}}$, модуль ${\displaystyle r=|z|}$ и аргумент ${\displaystyle \varphi (z)}$ аналитическими функциями комплексного переменного не являются, так как не удовлетворяют условиям Коши — Римана.